Выборочное среднее точно соответствует математическому ожиданию в случае, когда размер выборки стремится к бесконечности. 3 Это следует из закона больших чисел: частоты появления исходов испытаний приближаются к вероятностям по мере увеличения объёма выборки, поэтому выборочное среднее приближается к математическому ожиданию. 1

Также точное соответствие возможно, если результаты наблюдений — взаимно независимые случайные величины с одинаковым нормальным распределением. 5 В этом случае среднее арифметическое будет несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой математического ожидания. 5

Ещё одно условие, при котором выборочное среднее может быть точной оценкой математического ожидания, — если выборка получена из распределения с конечным математическим ожиданием. 2 В этом случае в силу закона больших чисел выборочное среднее является состоятельной оценкой для математического ожидания. 2