В каких случаях употребляются глаголы представиться и предоставиться?

Глагол «представиться» употребляется в разных случаях, например:

• Назвать себя, знакомясь с кем-либо, отрекомендоваться. dic.academic.ru ru.wiktionary.org Пример: «Позвольте представиться, — сказал мой собеседник, слегка приподнимаясь, — Иван Ильич Шамохин, московский помещик». dic.academic.ru
• Появиться, показаться перед глазами кого-либо, открыться взору. dic.academic.ru ru.wiktionary.org Пример: «Три женские фигуры в разных углах представились его глазам». dic.academic.ru
• Возникнуть, появиться о возможности чего-либо, о шансах. dic.academic.ru ru.wiktionary.org Пример: «Представилась командировка». dic.academic.ru
• Возникнуть, появиться в воображении кого-либо. dic.academic.ru ru.wiktionary.org Пример: «Ему представилось будущее». dic.academic.ru
• Произвести какое-либо впечатление, показаться. ru.wiktionary.org Пример: «Плохой человек никогда не сможет до конца представиться добрым». ru.wiktionary.org
• Принять какой-либо вид, притвориться. dic.academic.ru ru.wiktionary.org Пример: «Представиться больным». dic.academic.ru

Глагол «предоставиться» фиксируется словарями в значении «получить возможность осуществления чего-либо», но характеризуется как разговорный. gramota.ru

Оба глагола могут употребляться со словами «возможность», «случай» и т. п., но есть разница в стилистической окраске: «предоставиться» — разговорный, «представиться» — общеупотребительный, стилистически нейтральный. gramota.ru На письме предпочтительнее употреблять только «представиться». gramota.ru