В каких случаях наречие по-видимому употребляется в русском языке?

Наречие «по-видимому» в русском языке может употребляться в разных случаях, в зависимости от значения:

• В качестве наречия (устарелое) — «по внешности, наружно, с виду». dic.academic.ru ru.wiktionary.org
• Как вводное слово — «как видно, видимо, вероятно». kartaslov.ru ru.wiktionary.org Пример: «По-видимому, весна будет ранняя». kartaslov.ru ru.wiktionary.org
• Как частица — «употребляется при выражении подтверждения чего-либо с определённой долей сомнения». dic.academic.ru ru.wiktionary.org

Таким образом, слово «по-видимому» может иметь несколько значений и использоваться в разных контекстах.