Частица «не» пишется раздельно со словом «напрасно» в следующих случаях: 2

• При наличии противопоставления с союзом «а». 2 Например: «Не напрасно, а бесполезно твоё устремление». 1
• При наличии слов, усиливающих отрицание: «вовсе не», «далеко не», «отнюдь не». 23 Пример: «Далеко не напрасно мы вкладываем всё, что можем, в воспитание своих детей». 1
• При наличии отрицательных местоимений или наречий: «нисколько не», «никак не», «ничего не» и т. п.. 2 Пример: «Нисколько не напрасно освоил он ещё одну профессию». 1

Также «не» пишется раздельно, если выражается отрицание. 2 Если же нужно сделать утверждение, то используется слитное написание: «ненапрасно». 2