В каких ситуациях целесообразно применять разложение дробей на простые элементы при интегрировании?

Разложение дробей на простые элементы при интегрировании целесообразно применять в следующих ситуациях:

• Многочлен в знаменателе имеет действительные корни. 2 В этом случае в знаменателе имеет место цепочка сомножителей, в которой каждый из сомножителей находится в первой степени. 2
• Многочлен в знаменателе имеет кратные комплексные корни. 2 Дискриминант квадратного уравнения, присутствующего в цепочке сомножителей в знаменателе, меньше нуля, и этот сомножитель присутствует в степени 2 или больше. 2

Разложение дроби на простейшие сводит задачу интегрирования произвольной рациональной функции к интегрированию простейших дробей. 34

Также использование комплексного разложения позволяет проинтегрировать дробь практически устно, но итоговый интеграл при этом содержит логарифмы и дроби с комплексными числами, что требует дальнейших преобразований. 34