Некоторые заслуги Вейерштрасса в развитии теории аналитических функций:

• Введение определения аналитической функции как равномерно и безусловно сходящегося ряда. 1
• Установление правила: если последовательность аналитических функций равномерно сходится внутри некоторой области, то предел последовательности — тоже функция аналитическая. 23
• Формулировка логического обоснования анализа на основе построенной теории действительных (вещественных) чисел и так называемого ε-δ-языка. 23
• Доказательство, что любая непрерывная функция допускает представление равномерно сходящимся рядом многочленов. 23
• Развитие теории целых и мероморфных функций, а также каноническое представление целой функции, имеющей конечное или бесконечное количество нулей. 14
• Определение существенных особенностей алгебраических кривых, которые не изменяются при бирациональных преобразованиях и которые теперь называют «точками Вейерштрасса». 14
• Разработка теории гиперэллиптических интегралов и исследование общих абелевых интегралов, зависящих от иррациональности. 14
• Преобразование вариационного исчисления, придание его основаниям современного вида. 23
• Показ возможности построить однозначную функцию по данным её нулям и однозначную функцию с данным числом особых точек. 14
• Исследования, которые распространились на случай функций многих переменных. 14