В чем заключаются применения касательных в сфере проективной геометрии?

Возможно, имелось в виду применение касательных в задачах проективной геометрии. Некоторые из них:

• Построение касательных к окружностям из заданной точки. marhi.ru Например, если есть окружность радиуса R с центром О и точка А, из которой нужно провести две касательные прямые к этой окружности. marhi.ru Для этого нужно соединить точку А с центром окружности, разделить отрезок АО пополам и построить вспомогательную окружность с центром О1 и диаметром АО. marhi.ru Затем найти точки касания вспомогательной окружности с заданной окружностью и соединить их с точкой А. marhi.ru
• Построение касательных к двум окружностям. marhi.ru Есть два способа: внешнее касание (касательные располагаются с внешних сторон окружностей) и внутреннее касание (касательные находятся между окружностями). marhi.ru
• Решение задачи о построении окружности, касающейся трёх данных окружностей (задача Аполлония). elar.urfu.ru

Касательная к окружности — это прямая, которая имеет только одну общую с окружностью точку, называемую точкой касания. marhi.ru При этом касательная перпендикулярна радиусу окружности, проведённому в точку касания. marhi.ru