Особенности решения систем уравнений с целочисленными коэффициентами заключаются в следующем:

• Основная идея — преобразовать систему так, чтобы множество всех целых решений рассматривалось непосредственно. 1 Для этого применяют равносильные преобразования: перестановку уравнений, умножение уравнения на отличное от нуля число, прибавление к одному из уравнений другого уравнения, умноженного на любое целое число. 1
• Использование линейной замены неизвестных. 1 Она должна быть обратимой, то есть от неизвестных можно было вернуться к исходным посредством линейной замены с целыми коэффициентами. 1
• Применение метода Гаусса. 3 При этом используется вариант метода, в котором длины промежуточных результатов ограничены полиномом от длины входной информации, а целочисленность коэффициентов сохраняется на протяжении всего метода. 3

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. 5 Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными трудной является даже задача доказательства существования целочисленных решений. 5