Особенности и свойства натуральных чисел, являющихся квадратами (полными квадратами, квадратными числами):

• Геометрическое представление. 1 Такое число можно представить в виде площади квадрата с целочисленной стороной. 1 Например, 9 — квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3, а также представляет площадь квадрата со стороной, равной 3. 1
• Свойства в десятичной записи: 1
• Последняя цифра квадрата в десятичной записи может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9. 1
• Квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нулей. 1
• Квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. 1
• Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1. 1
• Количество положительных делителей. 2 Квадратное число (кроме 0) имеет нечётное число положительных делителей, в то время как другие натуральные числа имеют чётное число положительных делителей. 2
• Сумма нечётных чисел. 34 Квадрат любого натурального числа n равен сумме первых n нечётных чисел. 34 Например, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. 4
• Представление других чисел. 1 Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов). 1