Основные различия между методами градиентного спуска и множителей Лагранжа заключаются в их применении и идеях решения задач оптимизации:

1. Метод градиентного спуска направлен на нахождение локального минимума функции в процессе движения в направлении антиградиента. 4 Он используется, например, в машинном обучении для минимизации функции потерь. 27
2. Метод множителей Лагранжа применяется для решения задач при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные. 1 Основная идея метода заключается в последовательном учёте ограничений. 6 При этом в задачу вводятся дополнительные неопределённые множители, из-за чего порядок системы уравнений, решаемой для нахождения экстремумов критерия оптимальности, повышается на число ограничений. 1

Таким образом, метод градиентного спуска ориентирован на нахождение минимума функции, в то время как метод множителей Лагранжа используется для решения задач с учётом ограничений.