В чем заключаются основные различия между формулой включений-исключений и принципом Пуанкаре?

Возможно, имелись в виду различия между формулой включений-исключений и гипотезой Пуанкаре.

Формула включений-исключений — комбинаторная формула, которая позволяет определить мощность объединения конечного числа множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом. foxford.ru ru.wikipedia.org

Гипотеза Пуанкаре — математическая гипотеза, сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре. dzen.ru ru.ruwiki.ru Суть гипотезы в том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. dzen.ru ru.ruwiki.ru Гипотеза была доказана Григорием Перельманом в серии статей 2002–2003 годов. ru.ruwiki.ru

Таким образом, формула включений-исключений связана с математическими множествами и их объединением, в то время как гипотеза Пуанкаре относится к более широкому математическому контексту и связана с определённым математическим утверждением о пространственных объектах.