В чем заключаются основные различия между основными и специальными математическими функциями?

Возможно, имелись в виду различия между элементарными и специальными математическими функциями.

Элементарные функции — это функции, построенные на основе базовых операций (например, сложение, экспоненты, логарифмы). en.wikipedia.org К ним относятся, например, линейная, квадратичная, кубическая и другие. en.wikipedia.org

Специальные функции — это функции, которые не выражаются через элементарные функции. dic.academic.ru bigenc.ru Как правило, они встречаются в различных задачах математической физики и представляются в виде рядов или интегралов. dic.academic.ru bigenc.ru

Некоторые примеры специальных функций: гамма-функция, дзета-функция, интеграл вероятности, интегральные синус и косинус, интегральный логарифм. bigenc.ru

Таким образом, основное различие в том, что элементарные функции построены на основе базовых операций, а специальные функции возникают при решении конкретных задач и не могут быть выражены через элементарные.