В чем заключаются основные различия между обычной и научной записью математических выражений?

Возможно, имелись в виду различия между правилами записи математических выражений, которым учат в школе, и правилами «математической грамматики». uroki-sovy.ru Некоторые из них:

• Использование алфавита. uroki-sovy.ru В математических формулах применяют буквы только латинского и греческого алфавитов, буквы других алфавитов не используют. uroki-sovy.ru
• Применение греческих букв. uroki-sovy.ru Их используют, когда нужно в одной формуле отобразить принципиально разнородные математические объекты. uroki-sovy.ru
• Синтаксис. uroki-sovy.ru Математический текст подчиняется правилам обычной грамматики: все синтаксические знаки (точки, запятые и пр.) должны быть расставлены, даже если они размещены между формулами или между формулой и обычным текстом. uroki-sovy.ru
• Обозначения констант. ru.wikipedia.org В науках, использующих математический аппарат, существует множество своих именованных и обозначаемых буквами констант. ru.wikipedia.org

При этом, по мнению некоторых авторов, разница в используемых разными людьми обозначениях минимальна, и математические записи практически всегда выглядят одинаково. habr.com