Некоторые различия между координатным и прямым подходами в тензорном исчислении:

• Определение тензора. 1 При координатном подходе под тензором понимается матрица, компоненты которой преобразуются при переходе от одного координатного базиса к другому по определённым формулам. 1 При прямом подходе тензор рассматривается как элемент линейного пространства, полученного специальным перемножением векторных пространств. 14
• Зависимость от системы координат. 12 При прямом подходе никакие координатные системы не привлекаются к рассмотрению, а сами тензоры не зависят от выбора системы координат. 12
• Преобразования. 1 Прямой подход позволяет проводить большинство преобразований с помощью тождеств, записанных в инвариантной форме, что делает выкладки более компактными. 1
• Возможность предугадывания результатов. 23 Прямой тензорный язык позволяет легко видеть и предугадывать результаты, которые трудно увидеть в координатной версии тензорного исчисления. 23

При этом с чисто математической точки зрения оба подхода эквивалентны: от прямой записи тензора легко перейти к его координатному представлению, введя в пространстве тензоров базис. 13