В чем заключаются основные противоречия при определении мощности множеств?

Некоторые противоречия, которые возникают при определении мощности множеств:

• Противоречие между теоремами Кантора и Кантора-Бернштейна. 2 Например, если рассматривать множество всех множеств, элементами которого являются все множества, то все его подмножества тоже будут его элементами. 2 Это противоречит теоремам. 2
• Парадокс Рассела. 2 Типичное множество не содержит себя в качестве элемента. 2 Однако можно представить множество, которое является своим собственным элементом (например, множество всех множеств). 2 Если рассматривать множество всех «обычных» множеств, то оно может быть «обычным» и одновременно являться своим собственным элементом, и наоборот. 2
• Противоречие при сравнении бесконечных множеств. 1 Например, Кантор предположил, что все действительные числа можно пересчитать и разместить в бесконечном списке. 1 Однако он нашёл число, которого нет в этом списке, и решил, что таких чисел ещё очень много. 1

Чтобы избежать противоречий, при работе с множествами нужно проявлять осторожность и избегать определённых видов рассуждений. 2 Например, нельзя сразу рассматривать слишком большие множества, строить их можно только постепенно. 2