В чем заключаются основные противоречия при определении мощности множеств?

Некоторые противоречия, которые возникают при определении мощности множеств:

• Противоречие между теоремами Кантора и Кантора-Бернштейна. sch57.ru Например, если рассматривать множество всех множеств, элементами которого являются все множества, то все его подмножества тоже будут его элементами. sch57.ru Это противоречит теоремам. sch57.ru
• Парадокс Рассела. sch57.ru Типичное множество не содержит себя в качестве элемента. sch57.ru Однако можно представить множество, которое является своим собственным элементом (например, множество всех множеств). sch57.ru Если рассматривать множество всех «обычных» множеств, то оно может быть «обычным» и одновременно являться своим собственным элементом, и наоборот. sch57.ru
• Противоречие при сравнении бесконечных множеств. cyberleninka.ru Например, Кантор предположил, что все действительные числа можно пересчитать и разместить в бесконечном списке. cyberleninka.ru Однако он нашёл число, которого нет в этом списке, и решил, что таких чисел ещё очень много. cyberleninka.ru

Чтобы избежать противоречий, при работе с множествами нужно проявлять осторожность и избегать определённых видов рассуждений. sch57.ru Например, нельзя сразу рассматривать слишком большие множества, строить их можно только постепенно. sch57.ru