В чем заключаются основные принципы теории остатков в элементарной математике?

Некоторые основные принципы теории остатков (арифметики сравнений) в элементарной математике:

• В один класс попадают все числа, дающие при делении на модуль один и тот же остаток. 1 Чтобы узнать, в каком классе находится некоторое число, нужно найти остаток от деления этого числа на модуль. 1 Этот остаток равен индексу класса. 1
• Два числа принадлежат к одному и тому же классу тогда и только тогда, когда их разность делится без остатка на модуль. 1
• Остаток от деления суммы на модуль не изменится, если одно из слагаемых или каждое слагаемое заменить другим числом того же класса. 1
• Остаток от деления произведения нескольких чисел на модуль не изменится, если один из сомножителей (или даже каждый из сомножителей) заменить числом того же класса. 1
• Степени натуральных чисел всегда «зацикливаются» (по любому модулю). 2 Это следует из того, что количество различных остатков конечно, а так как количество натуральных степеней бесконечно, то какой-то остаток обязательно встретится второй раз. 2
• Всякое целое число всегда сравнимо с остатком, получающимся при делении его на модуль. 3