Основные принципы метода подстановок Эйлера заключаются в том, что интегралы с рациональными функциями от квадратного корня из квадратичного многочлена сводятся к интегралам от рациональных функций. 1

Суть подстановок Эйлера сводится к трём правилам: 2

1. Если a > 0, то полагаем √ax2 + bx + c = ± √ax + t. 25
2. Если c > 0, то полагаем √ax2 + bx + c = xt ± √c. 25
3. Если многочлен ax2 + bx + c имеет вещественные корни x1 и x2, то допустимы следующие замены: √ax2 + bx + c = t (x — x1); √ax2 + bx + c = t (x — x2). 5

Использование знака «±» означает, что решающий вправе взять любой знак (плюс или минус) — на своё усмотрение. 2

Применение одной подстановки Эйлера не исключает другую. 2 Выбор в пользу той или иной подстановки следует делать, чтобы упростить вычисления. 1

Подстановки Эйлера часто приводят к громоздким преобразованиям, поэтому их в основном применяют тогда, когда вычислить интеграл иным способом уже не удаётся. 2