Некоторые отличия между разложением в ряд Тейлора и ряд Лорана:

1. Область применения и условия:

• Ряд Тейлора позволяет приближать функции, используя их значения и производные в одной точке. 2 Ряд Тейлора сходится к функции только при выполнении определённых условий, например, ограниченности производных функции в заданной области. 8
• Ряд Лорана предназначен для функций, аналитических в кольце, ширина которого определяется областью аналитичности функции. 1 Разложение теряет смысл, как только функция теряет аналитичность. 1

2. Характер слагаемых:

• Ряд Тейлора включает в себя все производные функции на заданной точке, умноженные на соответствующие степени разности между переменной и заданной точкой, делённые на факториалы. 2
• Ряд Лорана содержит как положительные, так и отрицательные степени. 7 Часть с неотрицательными степенями называется правильной, а часть с отрицательными степенями — главной. 17

3. Область сходимости:

• Ряд Тейлора сходится внутри круга, где r — расстояние от точки разложения до границы области, в которой функция теряет аналитичность. 1
• Ряд Лорана сходится в пересечении областей сходимости правильной и главной частей, то есть в кольце. 1 Правильная часть сходится в круге, главная — во внешности круга, поэтому весь ряд сходится в кольце. 1