В чем заключаются основные отличия между производными элементарных функций и их частных случаев?

Возможно, имелись в виду отличия между «обычными» производными функции одной переменной и частными производными. www.mathprofi.ru math-info.hse.ru

Основное отличие заключается в том, что частные производные вычисляются для функций, зависящих от нескольких переменных, а «обычные» производные — для функций одной переменной. dzen.ru math-info.hse.ru

При вычислении частных производных считают, что все остальные переменные (кроме интересующей) являются постоянными, а производную берут по одной конкретной. math-info.hse.ru Чтобы различать производные по разным переменным, интересующую переменную пишут в качестве нижнего индекса. math-info.hse.ru

При этом для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. www.mathprofi.ru