В чем заключаются основные отличия методов Эйлера и Рунге-Кутты при численном решении?

Некоторые основные отличия методов Эйлера и Рунге-Кутты при численном решении:

• Уровень точности. 2 Метод Эйлера даёт результат первого порядка точности, в то время как методы Рунге-Кутты могут иметь более высокий порядок точности. 24 Например, метод Рунге-Кутты четвёртого порядка (RK4) обеспечивает баланс между порядком точности и стоимостью вычислений. 2
• Учёт кривизны. 2 Методы Рунге-Кутты учитывают кривизну, что делает расчётный «следующий шаг» более точным. 2 В методе Эйлера предполагается, что прямая линия является хорошим приближением кривой, и это может приводить к ошибкам. 2
• Количество вычислений. 5 В методе Рунге-Кутты на одной итерации требуется вычислять значение правой части решаемого уравнения четыре раза. 5 В методе Эйлера на каждом шаге выполняются действия одного типа, и не происходит последовательного приближения уточнения решения. 4
• Погрешность. 3 Метод Рунге-Кутты даёт 4–5 верных знаков после запятой, в то время как усовершенствованный метод Эйлера обеспечивает точность до двух верных знаков. 3

В большинстве случаев метод Рунге-Кутты даёт меньшую погрешность, чем метод Эйлера, но это не всегда верно. 2 Точность решения зависит от сетки, начального условия и дифференциальных уравнений. 2