Некоторые достижения Пафнутия Чебышёва в теории чисел:

• Впервые после Евклида учёный существенно продвинул изучение вопроса о распределении простых чисел. 5 Чебышёв уточнил количество простых чисел, не превосходящих данное число. 3 Это отражено в работах «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1849) и «О простых числах» (1852). 3
• Учёный исследовал расположение простых чисел в ряду всех целых чисел, что привело его к изучению квадратичных форм с положительными определителями. 5
• Работа Чебышёва, посвящённая приближению чисел рациональными числами (1866), сыграла важную роль в развитии теории диофантовых приближений. 35
• В аналитической теории чисел учёный одним из первых использовал гамма-функцию. 1

Некоторые достижения Чебышёва в теории вероятностей:

• Учёный стал первым русским математиком мирового уровня в теории вероятностей. 16
• Чебышёв систематически ввёл в рассмотрение случайные величины и создал новый приём доказательства предельных теорем теории вероятностей — метод моментов. 5
• В статье «О средних величинах» (1866) было впервые доказано «неравенство Чебышёва», ограничивающее вероятность больших отклонений случайной величины от своего математического ожидания. 16
• В работе «О двух теоремах относительно вероятностей» (1887) учёный установил, что при некоторых условиях выполняется центральная предельная теорема: сумма большого числа независимых случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями распределена приближённо по нормальному закону, и тем точнее, чем больше слагаемых в сумме. 1