В чем заключаются методы доказательства иррациональности числа пи, представленные Ламбертом, Эрмитом и другими учеными?

Каждое из доказательств иррациональности числа π начинается с предположения, что число рационально, и записывается в виде дроби. www.securitylab.ru {6-host} Затем проводятся последовательные математические операции и выводы, связанные с предполагаемыми значениями этой дроби. www.securitylab.ru В конечном счёте возникает противоречие, которое опровергает исходное предположение. www.securitylab.ru Так устанавливается иррациональность числа π. www.securitylab.ru

Некоторые методы, которые использовали учёные для доказательства иррациональности числа π:

• Ламберт в 1761 году доказал иррациональность π, исходя из найденного им представления тангенса в виде непрерывной дроби. ru.ruwiki.ru Ламберт установил, что если x не равно нулю и рационально, то это выражение иррационально. ru.ruwiki.ru Так как tg(π/4) = 1, отсюда следует, что π/4 иррационально и, следовательно, π иррационально тоже. ru.ruwiki.ru
• Эрмит в своём доказательстве использовал факт, что π является наименьшим положительным числом, половина которого является нулем косинуса. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org Это доказывает иррациональность π². ru.ruwiki.ru Доказательство Эрмита, как и многие другие, основано на методе доказательства от противного. ru.ruwiki.ru www.securitylab.ru
• Нивен в своём доказательстве использовал то, что π — это наименьший положительный нуль синуса. ru.wikipedia.org

Кроме того, Фердинанд фон Линдеманн в 1882 году доказал, что π не только иррационально, но и трансцендентно. ru.ruwiki.ru Число π относится к трансцендентным числам — это особый класс чисел, которые не могут являться корнями какого-либо алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. www.securitylab.ru Поскольку любое трансцендентное число является одновременно и иррациональным, доказательство трансцендентности числа π автоматически подтверждает его иррациональность. www.securitylab.ru