В чем заключаются методы аналитического вычисления производных сложных функций?

Возможно, имелись в виду методы вычисления производной сложной функции. Один из таких методов —  правило цепочки. repetitor.1c.ru Чтобы найти производную сложной функции, нужно: repetitor.1c.ru

1. Выделить внутреннюю и внешнюю функцию. repetitor.1c.ru
2. Найти производную внешней функции, считая внутреннюю переменную постоянной. repetitor.1c.ru
3. Найти производную внутренней функции по x. repetitor.1c.ru
4. Перемножить производные. repetitor.1c.ru

Также существует общий алгоритм нахождения производной сложной функции: www.matburo.ru

1. Определить структуру функции. www.matburo.ru Нужно разобрать, из каких частей она состоит. www.matburo.ru Это может быть сумма, произведение, частное или композиция (функция от функции). www.matburo.ru
2. Выбрать подходящее правило дифференцирования для каждого случая: www.matburo.ru

• Для суммы или разности: (u + v)' = u' + v'. www.matburo.ru
• Для произведения: (u · v)' = u' · v + u · v'. www.matburo.ru
• Для частного: (u/v)' = (u' · v - u · v')/v^2. www.matburo.ru
• Для сложной функции (композиции): использовать правило дифференцирования «по цепи» (начинать от внешней функции и дальше двигаться внутрь, пока не дойдёт до x) — (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x). www.matburo.ru

1. Найти производные простых частей. www.matburo.ru Для этого используют таблицу производных для элементарных функций. www.matburo.ru
2. Последовательно перейти к результату. www.matburo.ru Нужно подставить найденные производные в формулу и упростить выражение. www.matburo.ru