Некоторые математические принципы решения головоломки «пятнашки»:

• Определение количества ходов, необходимого для превращения упорядоченного поля в случайное. 1 Математики Юн Чу и Роберт Хоу из Университета Стони Брук выяснили, что для этого понадобится определённое количество ходов, основанных на разных определениях случайности. 1 Например, при одном из определений для рандомизации поля n на n понадобится n4 ходов (то есть 256 шагов для поля 4 на 4 и 10 000 шагов для поля 10 на 10). 1
• Использование инварианта чётности суммы двух чисел. 4 Если сумма числа пар плиток, в которых плитка с большим номером идёт перед плиткой с меньшим номером, и номера строки, в которой находится пустое поле, нечётна, то решения головоломки не существует. 24