Некоторые ключевые свойства расширенной матрицы системы линейных уравнений:

• Количество строк и столбцов. 2 Число строк в матрице соответствует числу уравнений в системе, а число столбцов — числу неизвестных. 2
• Последний столбец. 2 В нём записаны свободные члены уравнений. 23
• Ранг матрицы. 2 Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы коэффициентов уравнений. 2 Он определяет количество линейно независимых строк или столбцов в матрице и позволяет оценить разрешимость системы. 2
• Эквивалентные системы. 2 Две системы линейных уравнений совпадают тогда и только тогда, когда их расширенные матрицы равны. 2
• Преобразования строк. 2 Применение базовых преобразований строк к расширенной матрице системы не изменяет решений системы. 2 Преобразования включают умножение строки на ненулевое число, сложение строк и перестановку строк. 2
• Существование и единственность решений. 2 Расширенная матрица системы может иметь единственное решение, бесконечное количество решений или не иметь решений в зависимости от свойств матрицы коэффициентов и матрицы свободных членов. 2
• Возможность решения системы. 2 Расширенная матрица позволяет определить, имеет система решение или нет, и если оно существует, то какое именно. 2