Ключевые различия между коммутативными и некоммутативными алгебраическими системами заключаются в свойствах операции умножения:

• Коммутативные системы обладают коммутативной операцией умножения, которая также ассоциативна и имеет нейтральный элемент — единицу 145.
• Некоммутативные системы имеют умножение, которое не является коммутативным: существуют элементы a и b, для которых ab и ba различны. 2

Кроме того, некоммутативные системы более сложны, их структура, свойства и поведение изучены менее хорошо, чем коммутативные. 2

Ещё одно различие заключается в необходимости отдельно рассматривать правые и левые идеалы: теоретики некоммутативных систем обычно применяют условие к одному из этих типов идеалов, не требуя, чтобы оно выполнялось для противоположной стороны, в то время как для коммутативных систем различия между левым и правым не существует. 2