Некоторые ключевые отличия факториала от простых чисел и гамма-функции:

Факториал и простые числа:

• Факториал определяется для положительных целых чисел. 25 Вычисление факториала положительного целого числа осуществляется произведением всех положительных целых чисел, меньших или равных n. 5 Для простых чисел отдельного обозначения факториалов нет, так как формула простого числа неизвестна. 1
• Факториал обладает свойствами в теории чисел, связанными с делением на простые числа. 4 Например, если p — простое число, то (p-1)!≡-1(mod p). 4 Это свойство известно как теорема Вильсона и является основой для доказательства простоты конкретных чисел. 4

Гамма-функция и факториал:

• Факториал определён только для дискретных точек — положительных целых чисел. 25 Простую формулу факториала, x! = 1 * 2 * … * x, нельзя использовать непосредственно для дробных значений, потому что она верна только для целых чисел. 2
• Гамма-функция расширяет определение факториала на все вещественные и комплексные числа, кроме чисел с неположительной вещественной частью. 4 В отличие от факториала, который принимает только положительные целые числа, гамма-функция может принимать любые действительные или комплексные числа, в том числе и отрицательные. 25