Доказательство теоремы Лагранжа для конечных групп заключается в следующем: 1

1. Пусть G — конечная группа, а H — её подгруппа. 1
2. Любой элемент G входит в некоторый смежный класс по H. 1
3. Мощность каждого класса равна порядку подгруппы H, так как отображение x → a·x биективно. 1
4. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. 1
5. Отсюда очевидно, что порядок группы G делится на порядок подгруппы H. 1

Ещё одно доказательство можно провести так: каждый элемент группы G лежит в своём левом смежном классе по подгруппе H, разные смежные классы не пересекаются, и каждый из них содержит по порядку подгруппы H элементов. 5