В чем заключаются доказательства первого и второго замечательных пределов?

Доказательство первого замечательного предела заключается в том, что для его вывода используют определение синуса и тангенса на тригонометрической окружности и теорему о пределе промежуточной функции. 5 Чтобы доказать существование предела в точке, показывают существование правостороннего и левостороннего пределов, а затем доказывают их равенство. 5 В результате правый и левый односторонние пределы существуют и равны 1, а значит, и сам предел равен 1. 15

Доказательство второго замечательного предела заключается в том, что при его выводе используют тот факт, что последовательность строго возрастает и имеет конечный предел, равный числу e. 7 Сначала рассматривают правый предел, для его существования выбирают окрестность точки, на которой функция определена. 7 Затем рассматривают сложную функцию и доказывают, что она имеет предел при определённом значении x, равный числу e. 7 Поскольку последовательность строго возрастает, а функция не убывает, то сложная функция не убывает. 7 Тогда по теореме о пределе монотонной функции она имеет конечный или бесконечный предел при определённом значении x. 7 Поскольку существуют равные пределы справа и слева, то существует и двусторонний предел, и второй замечательный предел доказан. 7