В чем заключается значимость метода построения краевых случаев в математических доказательствах?

Возможно, имелись в виду методы решения краевых задач. Их значимость в математических доказательствах и исследованиях заключается в том, что такие методы позволяют, например:

• Улучшить дифференциальные свойства решения. igor.frolenkov.ru Введение в исходные уравнения добавочных членов с малыми параметрами делает задачу более устойчивой к изменениям входных данных. igor.frolenkov.ru
• Построить простые и экономичные численные алгоритмы. igor.frolenkov.ru Для этого исходные краевые задачи аппроксимируют задачами, содержащими малые параметры. igor.frolenkov.ru
• Доказать сходимость решения. igor.frolenkov.ru Исходные краевые задачи заменяют корректными, хорошо изученными задачами, содержащими дополнительные члены с малым множителем. igor.frolenkov.ru Затем доказывают, что решение аппроксимирующих задач сходится к решению исходной задачи. igor.frolenkov.ru
• Исследовать системы уравнений. igor.frolenkov.ru Такие методы широко применяются при изучении систем уравнений составного типа, вырождающихся уравнений, уравнений смешанного и переменного типов. igor.frolenkov.ru

Один из распространённых и эффективных методов решения краевых задач — метод сеток, или метод конечных разностей. lib.togudv.ru