Значимость детерминантов (определителей) в математике заключается в нескольких аспектах:

• Помощь в описании решений линейных уравнений. 1 Ненулевой определитель матрицы означает, что у соответствующего набора линейных уравнений есть одно решение. 1 Нулевой определитель, наоборот, указывает на необратимость матрицы, и в этом случае у уравнений может быть либо бесконечно много решений, либо ни одного. 1
• Характеристика преобразования пространства. 23 Детерминант показывает, как преобразуется пространство с помощью матрицы: оставляет ли она его размерность или уменьшает. 2 Например, если детерминант по абсолютной величине больше 1, то матрица задаёт такое преобразование пространства, при котором близкие друг другу точки оказываются на более удалённом расстоянии друг от друга. 2 Если детерминант по модулю меньше 1, то матрица задаёт сжатие пространства. 2
• Определение свойств матрицы. 3 Определитель определяет многие свойства матрицы, в частности, матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель является обратимым элементом. 3
• Кодирование информации о том, как изменяются объёмы. 1 Детерминанты позволяют кодировать сведения о том, как объёмы изменяются по отношению к преобразованию. 1

Таким образом, детерминанты важны в различных областях, где возникают линейные уравнения и нужно описывать преобразования пространства.