Важность и применение теоремы Больцано — Вейерштрасса в математическом анализе заключаются в том, что она:

• Устанавливает достаточное условие компактности в пространстве Rn. 2 Для того чтобы множество было компактным, достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным. 2
• Используется при доказательстве многих предложений анализа. 12 Например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. 1

При доказательстве различных предложений в анализе часто прибегают к следующему приёму: определяют последовательность точек, обладающую каким-либо нужным свойством, а затем из неё выделяют подпоследовательность, также им обладающую, но уже сходящуюся. 1