Теорема Вагнера о планарных графах утверждает, что конечный граф является планарным тогда и только тогда, когда его миноры не включают ни K5 (полный граф с пятью вершинами), ни K3,3 (коммунальный граф, полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой доле). 12

Другими словами, любой граф либо имеет планарное вложение, либо содержит минор одного из двух типов — полный граф K5 или полный двудольный граф K3,3 (граф может иметь оба типа миноров). 1

Если данный граф планарен, то таковы и все его миноры — удаление вершины или ребра не нарушает планарности, а стягивание ребра также можно сделать с сохранением планарности, если одну из вершин стягиваемого ребра оставить на месте, а все рёбра, инцидентные второй вершине, пустить вдоль стягиваемого ребра. 1