В чем заключается связь теоремы о сумме углов треугольника с евклидовой и неевклидовыми геометриями?

Теорема о сумме углов треугольника связана с евклидовой и неевклидовыми геометриями через аксиому параллельности. 13

В евклидовой геометрии сумма углов любого треугольника равна 180°. 3 Это утверждение опирается на свойство параллельных прямых, а именно — на утверждение о том, что внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. 1 Доказательство этого свойства использует аксиому параллельности евклидовой геометрии. 1

В неевклидовых геометриях аксиома параллельности не выполняется, и сумма углов треугольника может отличаться от 180°: 13

• На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника. 13
• В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180° и может быть сколь угодно малой. 13
• В геометрии такси понятие суммы углов в треугольнике становится неоднозначным. 5 В некоторых интерпретациях сумма углов в треугольнике такси по-прежнему может составлять 180°, но способ измерения углов отличается от евклидова пространства. 5