В чем заключается связь теоремы о сумме углов треугольника с евклидовой и неевклидовыми геометриями?

Теорема о сумме углов треугольника связана с евклидовой и неевклидовыми геометриями через аксиому параллельности. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru

В евклидовой геометрии сумма углов любого треугольника равна 180°. ru.ruwiki.ru Это утверждение опирается на свойство параллельных прямых, а именно — на утверждение о том, что внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. ru.wikipedia.org Доказательство этого свойства использует аксиому параллельности евклидовой геометрии. ru.wikipedia.org

В неевклидовых геометриях аксиома параллельности не выполняется, и сумма углов треугольника может отличаться от 180°: ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru

• На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru
• В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180° и может быть сколь угодно малой. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru
• В геометрии такси понятие суммы углов в треугольнике становится неоднозначным. en.wikipedia.org В некоторых интерпретациях сумма углов в треугольнике такси по-прежнему может составлять 180°, но способ измерения углов отличается от евклидова пространства. en.wikipedia.org