В чём заключается свойство полноты в узком и широком смысле в математической логике?

Полнота в узком смысле в математической логике означает, что присоединение к аксиомам какой-либо невыводимой в них формулы приводит к противоречивой теории. 2 Другими словами, аксиомы теории уже нельзя пополнить независимой аксиомой так, чтобы получить непротиворечивую теорию. 2

Полнота в широком смысле означает, что все формулы аксиоматической системы, обладающие определённым свойством (истинные при данной интерпретации), доказуемы в ней. 1 Другими словами, множество теорем покрывает множество формул, являющихся тавтологиями. 2

Таким образом, полнота в узком смысле связана с формальным подходом и невозможностью присоединения к системе без противоречия никакой недоказуемой в ней формулы в качестве аксиомы, а полнота в широком смысле — с семантическим (содержательным) подходом, связанным с понятием истинности. 1