В чем заключается суть парадокса Бертрана, который связан с вероятностью попадания точки в геометрическую фигуру?

Суть парадокса Бертрана, связанного с вероятностью попадания точки в геометрическую фигуру, заключается в том, что невозможно чётко определить вероятность, пока не выбран метод или механизм определения случайной величины. spravochnick.ru ru.wikipedia.org

Пример, который иллюстрирует парадокс: для заданной окружности случайным образом выбирается хорда. spravochnick.ru Необходимо определить вероятность того, что эта хорда длиннее, чем сторона правильного треугольника, который вписан в окружность. spravochnick.ru Согласно парадоксу, такая вероятность определяется неоднозначно, поскольку различные методы дают разные результаты. spravochnick.ru

Бертран предложил три метода решения этой задачи: spravochnick.ru

1. Метод «случайного центра». ru.wikipedia.org В круге случайным образом выбирается точка. spravochnick.ru Эта точка определяет одну единственную хорду, для которой она является серединой. spravochnick.ru Хорда будет длиннее стороны правильного треугольника только в том случае, если её середина расположена внутри круга, который вписан в треугольник. spravochnick.ru Вероятность нахождения внутри вписанного круга случайно выбранной точки равна 1/4. spravochnick.ru
2. Метод «случайных концов». ru.wikipedia.org По соображениям симметрии считается, что один конец хорды — это фиксированная произвольная точка, расположенная на окружности. spravochnick.ru Пускай такой точкой будет вершина треугольника, вписанного в окружность. spravochnick.ru Другой конец хорды выбирается случайно. spravochnick.ru Вершины треугольника разделяют окружность на три одинаковые дуги, а случайная хорда будет длиннее стороны треугольника только в том случае, если пересекает данный треугольник. spravochnick.ru Таким образом, искомая вероятность равна 1/3. spravochnick.ru
3. Метод «случайного радиуса». ru.wikipedia.org Равномерно и случайным образом выбирается точка на радиусе окружности, а хорда располагается перпендикулярно данному радиусу и проходит через определённую точку. spravochnick.ru В этом случае случайная хорда будет длиннее стороны треугольника, вписанного в круг, если случайная точка находится на половине радиуса, расположенной ближе к центру. spravochnick.ru Искомая вероятность равняется 1/2. spravochnick.ru

Рассуждения во всех трёх рассмотренных случаях верны, но при этом вероятность одного и того же события разная. spravochnick.ru