В чем заключается суть доказательства иррациональности числа корень из двух?

Суть доказательства иррациональности числа √2 заключается в методе от противного. 4

Доказательство: 4

1. Предположим, что √2 — рациональное число, то есть существует пара целых чисел (назовём их a и b), отношение которых равно √2. 4
2. Если два целых числа имеют общий множитель, его можно исключить с помощью алгоритма Евклида. 4
3. Тогда √2 можно записать как неприводимую дробь a⁄b, где a и b — взаимно простые целые числа (не имеющие общего множителя). 4
4. Отсюда следует, что a²⁄b² = 2 и a² = 2b². 4
5. Так как 2b² обязательно чётное, то и a² должно делиться на 2, а это возможно только при чётном a. 2
6. Поскольку a чётное, существует целое число k, которое удовлетворяет: a = 2k. 4
7. Замена 2k на a во втором уравнении даёт: 2b² = 4k², что эквивалентно b² = 2k². 4
8. Поскольку 2k² делится на два и, следовательно, чётное, и поскольку 2k² = b², отсюда следует, что b² также чётное, что означает, что b чётное. 4
9. Таким образом, и a, и b — чётные числа, что противоречит тому, что a⁄b неприводимо. 4
10. Поскольку существует противоречие, предположение о том, что √2 — рациональное число, должно быть ложным. 4
11. Это означает, что √2 не является рациональным числом, то есть √2 — иррациональное. 4

Существует и другое доказательство иррациональности числа √2, которое может быть представлено, например, с помощью геометрических построений в прямоугольных треугольниках или метода площадей. 2