В чем заключается суть доказательства иррациональности числа корень из двух?

Суть доказательства иррациональности числа √2 заключается в методе от противного. math.fandom.com

Доказательство: math.fandom.com

1. Предположим, что √2 — рациональное число, то есть существует пара целых чисел (назовём их a и b), отношение которых равно √2. math.fandom.com
2. Если два целых числа имеют общий множитель, его можно исключить с помощью алгоритма Евклида. math.fandom.com
3. Тогда √2 можно записать как неприводимую дробь a⁄b, где a и b — взаимно простые целые числа (не имеющие общего множителя). math.fandom.com
4. Отсюда следует, что a²⁄b² = 2 и a² = 2b². math.fandom.com
5. Так как 2b² обязательно чётное, то и a² должно делиться на 2, а это возможно только при чётном a. dar.university
6. Поскольку a чётное, существует целое число k, которое удовлетворяет: a = 2k. math.fandom.com
7. Замена 2k на a во втором уравнении даёт: 2b² = 4k², что эквивалентно b² = 2k². math.fandom.com
8. Поскольку 2k² делится на два и, следовательно, чётное, и поскольку 2k² = b², отсюда следует, что b² также чётное, что означает, что b чётное. math.fandom.com
9. Таким образом, и a, и b — чётные числа, что противоречит тому, что a⁄b неприводимо. math.fandom.com
10. Поскольку существует противоречие, предположение о том, что √2 — рациональное число, должно быть ложным. math.fandom.com
11. Это означает, что √2 не является рациональным числом, то есть √2 — иррациональное. math.fandom.com

Существует и другое доказательство иррациональности числа √2, которое может быть представлено, например, с помощью геометрических построений в прямоугольных треугольниках или метода площадей. dar.university