Матрица Якоби (якобиан) играет существенную роль в методе Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 1

Основная идея метода — выделение из уравнений системы линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. 1 Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности систем линейных уравнений. 1

Некоторые особенности роли матрицы Якоби:

• Формирование матрицы происходит на каждом шаге итерационного процесса поиска. 5 Каждый элемент матрицы можно определить аналитически, как частную производную, или методом численного дифференцирования, как отношение приращения функции к приращению аргумента. 5
• Построить матрицу Якоби можно только при условии, что каждая из функций, входящая в систему, дифференцируема по каждой из переменных. 1
• Матрица Якоби часто бывает разреженной, особенно при решении задач для нелинейных уравнений в частных производных. 2 В таком случае используют специальные методы для разреженных матриц или итерационные методы. 2