Революционный вклад Карла Вейерштрасса в математику заключается в завершении построения фундамента математического анализа, а также в прояснении тёмных мест этой науки. 35

Некоторые достижения Вейерштрасса:

• Открытие функции, которая была непрерывной всюду, но дифференцируемой нигде. 12 Это доказательство показало, что математический анализ больше не может полагаться на геометрическую интуицию, и установил новый стандарт для предмета, основанный на тщательном анализе уравнений. 1
• Пересмотр определений непрерывности и дифференцируемости. 1 Вейерштрасс переписал их, используя точный язык и конкретные математические формулы. 1 Он ввёл современную версию определения предела и использовал её как основу для своих определений непрерывности и дифференцируемости. 1
• Формулирование логического обоснования анализа на основе построенной им теории действительных (вещественных) чисел и так называемого ε-δ-языка. 35
• Доказательство, что любая непрерывная функция допускает представление равномерно сходящимся рядом многочленов. 35
• Преобразование вариационного исчисления, придание его основаниям современного вида. 3
• Создание теории делимости степенных рядов, открытие условий сильного экстремума и достаточных условий экстремума, исследование разрывных решений классических уравнений. 35
• В геометрии — создание теории минимальных поверхностей, вклад в теорию геодезических линий. 35
• В линейной алгебре — разработка теории элементарных делителей. 35

Исследования Вейерштрасса существенно обогатили математический анализ, теорию специальных функций, вариационное исчисление, дифференциальную геометрию и линейную алгебру. 3