В чем заключается разница между теоремой о сумме углов многоугольника и ее вариациями для искривленных поверхностей?

Возможно, имелись в виду различия между теоремой о сумме углов многоугольника, которая верна для плоских многоугольников, и её вариациями, предназначенными для искривлённых поверхностей. ru.ruwiki.ru elementy.ru

Теорема о сумме углов многоугольника выражает сумму углов евклидова многоугольника через число его сторон. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org Она верна для всякого многоугольника, но доказательство простое и красивое только для выпуклых многоугольников. youclever.org

Вариации и обобщения теоремы о сумме углов многоугольника включают, например:

• Теорему о повороте кривой — дифференциальногеометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника. ru.ruwiki.ru xn--h1ajim.xn--p1ai
• Формулу Гаусса — Бонне — аналогичный результат для искривлённых поверхностей. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Дело в том, что теорема о сумме углов многоугольника не выполняется для многоугольников на сфере и на любой другой искажённой плоскости, кроме некоторых случаев. web.archive.org Это связано с тем, что стороны многоугольника — это куски прямых, а на кривой поверхности прямых может и не быть. elementy.ru