В чем заключается разница между арифметическим и геометрическим сложением корней?

Возможно, имелись в виду различия между арифметическим и геометрическим вычислением квадратных корней. ru.wikipedia.org 100urokov.ru

Арифметически извлечение квадратного корня означает нахождение числа, которое при умножении на себя даёт заданное число. ru.wikipedia.org При этом арифметическим называют тот квадратный корень, у которого нет знака минус. 100urokov.ru

Геометрически извлечение квадратного корня связано с построением стороны квадрата с заданной площадью. ru.wikipedia.org

Таким образом, разница заключается в том, что арифметически речь идёт о поиске числа, а геометрически — о решении задачи с использованием геометрических представлений.