В чем заключается принцип работы метода Ньютона для нахождения экстремумов функции?

Принцип работы метода Ньютона для нахождения экстремумов функции заключается в использовании информации о первой и второй производных функции. scienceforum.ru

Первая производная (градиент) указывает на направление, в котором функция изменяется сильнее всего, что используется для нахождения точек минимума или максимума. scienceforum.ru Однако градиентная информация недостаточна для точной оценки, особенно в случаях, когда функция имеет сложную форму. scienceforum.ru

Вторая производная (гессиан) описывает кривизну поверхности функции. scienceforum.ru Гессиан содержит информацию о том, насколько сильно меняется градиент в каждой точке, и позволяет скорректировать шаг оптимизации с учётом этого изменения. scienceforum.ru

Алгоритм метода Ньютона включает следующие этапы: scienceforum.ru

1. Выбор начальной точки. scienceforum.ru Близость к экстремуму ускоряет сходимость. scienceforum.ru
2. Вычисление производных. scienceforum.ru Градиент — направление наибольшего изменения функции, гессиан — матрица кривизны функции. scienceforum.ru
3. Обновление точки. scienceforum.ru Формула корректирует шаг с учётом кривизны функции. scienceforum.ru
4. Проверка условия остановки. scienceforum.ru Например, градиент близок к нулю или наблюдается малое изменение функции между итерациями. scienceforum.ru
5. Повторение. scienceforum.ru Если условие не выполнено, алгоритм повторяется с новой точки. scienceforum.ru

Метод Ньютона обладает квадратичной скоростью сходимости, быстро приближается к экстремуму, особенно если начальная точка близка к решению. scienceforum.ru simenergy.ru