В чем заключается принцип работы метода Ньютона для нахождения экстремумов функции?
Принцип работы метода Ньютона для нахождения экстремумов функции заключается в использовании информации о первой и второй производных функции. 1
Первая производная (градиент) указывает на направление, в котором функция изменяется сильнее всего, что используется для нахождения точек минимума или максимума. 1 Однако градиентная информация недостаточна для точной оценки, особенно в случаях, когда функция имеет сложную форму. 1
Вторая производная (гессиан) описывает кривизну поверхности функции. 1 Гессиан содержит информацию о том, насколько сильно меняется градиент в каждой точке, и позволяет скорректировать шаг оптимизации с учётом этого изменения. 1
Алгоритм метода Ньютона включает следующие этапы: 1
- Выбор начальной точки. 1 Близость к экстремуму ускоряет сходимость. 1
- Вычисление производных. 1 Градиент — направление наибольшего изменения функции, гессиан — матрица кривизны функции. 1
- Обновление точки. 1 Формула корректирует шаг с учётом кривизны функции. 1
- Проверка условия остановки. 1 Например, градиент близок к нулю или наблюдается малое изменение функции между итерациями. 1
- Повторение. 1 Если условие не выполнено, алгоритм повторяется с новой точки. 1
Метод Ньютона обладает квадратичной скоростью сходимости, быстро приближается к экстремуму, особенно если начальная точка близка к решению. 13
