Принцип независимости аксиом в современной математике означает, что каждая аксиома не является логическим следствием из множества остальных аксиом теории. 12

Другими словами, независимость аксиомы означает, что её можно без противоречия заменить отрицанием. 12 Аксиома независима, если существует интерпретация, при которой она ложна, а все остальные аксиомы теории истинны. 12

Некоторые примеры независимости аксиом:

• Пятый постулат Евклида. 3 Оказалось, что если добавить к аксиоматике пятый постулат или его отрицание, то получатся одинаково непротиворечивые аксиоматики. 3 Таким образом, пятый постулат оказался независим от остальных аксиом геометрии, то есть недоказуем и неопровержим. 3
• Аксиома выбора. 3 В теории множеств и аксиоматике ZF нельзя ни доказать, ни опровергнуть эту аксиому. 3
• Параллельный постулат. 4 Аксиомы Евклида, включая параллельный постулат, дают евклидову геометрию, а при отрицании параллельного постулата — неевклидову геометрию. 4