В чем заключается принцип биномиальных коэффициентов при распределении шаров по ящикам?

Принцип биномиальных коэффициентов при распределении шаров по ящикам заключается в подсчёте количества способов разложить определённое число шаров по ящикам с учётом различных условий задачи. 13

Некоторые примеры использования биномиальных коэффициентов в таком контексте:

• Всевозможное размещение k шаров по n ящикам, при котором в одном ящике может быть не более 1 шара. 1 В этом случае нужно выбрать k ящиков, в которых будут лежать шары. 1
• Произвольное размещение k одинаковых шаров по n различным ящикам. 1 Нужно указать для каждого из n ящиков, сколько шаров туда было помещено. 1
• Распределение шаров по ящикам так, чтобы ни один из них не оказался пустым. 3 В этом случае нужно найти число способов разложить определённое число шаров по ящикам с учётом этого условия. 3