В чем заключается практическое применение модульного подхода в арифметике?

Практическое применение модульного подхода в арифметике включает различные области, некоторые из них:

• Вычисление контрольных сумм в идентификаторах серийных номеров. 13 Например, в международных стандартных номерах книг (ISBN) используют арифметику по модулю 11 (для 10-значного ISBN) или по модулю 10 (для 13-значного ISBN) для обнаружения ошибок. 1 В номерах международных банковских счетов (IBAN) применяют арифметику по модулю 97 для выявления ошибок ввода пользователем. 13
• Криптография. 13 Законы модульной арифметики лежат в основе систем с открытым ключом, таких как RSA и Диффи-Хелльман. 3 Также их используют в различных алгоритмах симметричного ключа, включая Advanced Encryption Standard (AES), Международный алгоритм шифрования данных и RC4. 3
• Информатика. 13 Модульная арифметика часто применяется в побитовых и других операциях, включающих циклические структуры данных фиксированной ширины. 13 Операция по модулю реализована во многих языках программирования и калькуляторах. 13
• Химия. 13 В регистрационном номере CAS (уникальный идентификационный номер для каждого химического соединения) последняя цифра является контрольной. 13 Её рассчитывают, умножая последнюю цифру первых двух частей номера на 1, предыдущую цифру на 2 и так далее, а затем складывают полученные значения и вычисляют сумму по модулю 10. 13
• Музыка. 13 Арифметика по модулю 12 используется при рассмотрении системы равного темперамента из двенадцати тонов, в которой происходит эквивалентность октавы и энгармоники. 3
• Цифровая обработка сигналов. 45 Модульная арифметика используется в алгоритмах для эффективных вычислений при цифровой обработке сигналов, особенно в быстром преобразовании Фурье (FFT) и кодах с исправлением ошибок. 4