В чем заключается практическое применение формулы включений-исключений?

Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) позволяет определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом. ru.wikipedia.org

Некоторые области практического применения формулы:

• Вычисление количества элементов, у которых есть хотя бы одно из нескольких свойств. ru.hexlet.io При этом элементы, у которых есть более чем одно свойство, не учитываются дважды. ru.hexlet.io Например, можно найти число людей, у которых есть хотя бы одна кошка или собака, если известно, что у пяти человек есть кошка, а у восьми — собака, а у трёх из них есть и кошка, и собака. ru.hexlet.io
• Решение задач о перестановках. www.e-maxx-ru.1gb.ru ru.wikipedia.org Например, можно посчитать, сколько есть перестановок чисел от 0 до 9 таких, что первый элемент больше 1, а последний — меньше 8. www.e-maxx-ru.1gb.ru
• Определение количества чисел в заданном отрезке, кратных хотя бы одному из заданных чисел. www.e-maxx-ru.1gb.ru
• Вычисление количества строк, удовлетворяющих заданному числу паттернов. www.e-maxx-ru.1gb.ru
• Решение задач о путях. www.e-maxx-ru.1gb.ru Например, можно посчитать число способов дойти от одной клетки до другой, избежав всех препятствий. www.e-maxx-ru.1gb.ru
• Вычисление функции Эйлера. ru.wikipedia.org internat.msu.ru Формула позволяет найти явное выражение для функции, выражающей количество чисел, взаимно простых с определённым числом. ru.wikipedia.org