В чем заключается парадокс Галилея о множестве чисел и квадратов?

Парадокс Галилея — пример, иллюстрирующий свойства бесконечных множеств. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org Он заключается в том, что натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел, то есть в множестве 1, 2, 3, 4… столько же элементов, сколько в множестве 1, 4, 9, 16…. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Суть парадокса заключается в двух противоречащих друг другу суждениях о натуральных числах: ru.ruwiki.ru

1. Первое суждение: некоторые числа являются точными квадратами (то есть квадратами других целых чисел), другие же числа таким свойством не обладают. ru.ruwiki.ru Значит, точных квадратов и обычных чисел вместе должно быть больше, чем просто точных квадратов. ru.ruwiki.ru
2. Второе суждение: для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, и наоборот — для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень, поэтому точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество. ru.ruwiki.ru

Галилей сделал вывод, что судить об одинаковом количестве элементов можно только для конечных множеств. ru.ruwiki.ru В XIX веке Георг Кантор, используя свою теорию множеств, показал, что можно ввести «количество элементов» для бесконечных множеств — так называемая мощность множества. ru.ruwiki.ru При этом мощности множества натуральных чисел и множества точных квадратов совпали (оказалось верным второе рассуждение Галилея). ru.ruwiki.ru