Парадокс Бертрана Рассела в контексте математических систем заключается в противоречивости логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора. 3

На неформальном языке парадокс можно описать так: 3

Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. 3 Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. 3 Примером «необычного» множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементом. 3

Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех «обычных» множеств, такое множество называется расселовским множеством. 3 Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество «обычным» или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. 3

Есть две возможности: 3

1. Если множество «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. 3 Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают. 3
2. Остаётся предположить, что это множество «необычное». 3 Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. 3 Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество. 3 В любом случае получается противоречие. 3

Парадокс Рассела означает, что в основе наивной теории множеств лежит противоречие. 4