В чем заключается парадокс Бертрана Рассела в контексте математических систем?

Парадокс Бертрана Рассела в контексте математических систем заключается в противоречивости логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора. ru.wikipedia.org

На неформальном языке парадокс можно описать так: ru.wikipedia.org

Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. ru.wikipedia.org Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. ru.wikipedia.org Примером «необычного» множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементом. ru.wikipedia.org

Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех «обычных» множеств, такое множество называется расселовским множеством. ru.wikipedia.org Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество «обычным» или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. ru.wikipedia.org

Есть две возможности: ru.wikipedia.org

1. Если множество «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. ru.wikipedia.org Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают. ru.wikipedia.org
2. Остаётся предположить, что это множество «необычное». ru.wikipedia.org Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. ru.wikipedia.org Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество. ru.wikipedia.org В любом случае получается противоречие. ru.wikipedia.org

Парадокс Рассела означает, что в основе наивной теории множеств лежит противоречие. kpfu.ru