Парадокс Банаха — Тарского в контексте бесконечных множеств заключается в том, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. 24 То есть его можно разбить на конечное число попарно непересекающихся частей, передвинуть их и составить из них второй шар. 4 При этом для удвоения шара достаточно пяти частей, но четырёх недостаточно. 4

Суть парадокса в том, что в трёхмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объёма. 4 Как бы ни определяли объём, всегда найдутся множества, которые не имеют объёма (неизмеримые множества). 1

Таким образом, парадокс показывает, что обобщить понятие объёма так, чтобы любое множество было измеримо, и такой «объём» сохранялся при движении, нельзя. 3