Основные отличия геометрии Римана от геометрии Лобачевского:

1. Взаимное расположение прямых на плоскости. 2 В геометрии Римана любые две прямые имеют общую точку, то есть все прямые пересекаются. 2 В геометрии Лобачевского через точку, которая не принадлежит данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, которые не пересекают исходную прямую. 2
2. Порядок точек на прямой. 1 В евклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского порядок точек на прямой линейный, а в геометрии Римана — циклический, подобный порядку в множестве точек на окружности. 1
3. Разделение плоскости. 1 В геометриях Евклида и Лобачевского каждая прямая, лежащая в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две части. 1 В геометрии Римана прямая не разделяет плоскость на две части, то есть любые две точки плоскости, не лежащие на данной прямой, можно соединить в этой плоскости непрерывной дугой, не пересекая данную прямую. 1
4. Сумма внутренних углов треугольника. 2 В геометрии Лобачевского сумма внутренних углов любого треугольника меньше двух прямых, в геометрии Римана — больше двух прямых (в евклидовой геометрии она равна двум прямым). 12